1)(Tipler 8.30) Um anel de raio 0,50 m e m = 0,8 kg  está rolando sem deslizar a v = 20 m/s para cima em um plano inclinado de 300.  Qual é a distância que o anel subirá no plano sem deslizar?

Solução:  Por conservação da energia temos:
Eci + Ui = Ecf + Uf

Como:
Eci = mv²/2 + I w²/2 = mv²/2 + I v²/2R²
Ui = 0  ;  Ecf = 0   ;  Uf = mgh

Resulta:
Eci = Uf   ou seja:     mv²/2 + I v²/2R²  = mgh

Como: I _ANEL = m R² fica:

mgh = mv²/2 + m v²/2 = m v²  ==>  h = v²/g = 40,8 m

e sendo h = L sen0 temos:  L = h/sen0 = 40,8/0,5 = 81,6 m  Rta. : L = 81,6 m

2) (Tipler 8.79) A figura mostra um par de esferas uniformes cada uma de massa
M = 500 g e raio 5 cm.  Elas foram montadas numa barra uniforme que tem comprimento L = 30 cm e massa m = 60 g.
a) Calcule o momento de inércia do sistema em torno de um eixo perpendicular à barra no seu centro usando a aproximação de que as esferas podem ser tratadas como partículas pontuais a 20 cm do eixo de rotação e que a massa da barra é desprezível.
b) Calcule o momento de inércia considerando as esferas e a barra com as dimensões dadas e dê a percentagem de erro da resposta a). Dados: I_ESFERA(CM) = 2 mR²/5  ;  I_BARRA(por extremo) = m L²/3

Solução:
a) M = 0,5 kg  ,  r = 0,2 m   ==> I = 2 M r² = 0,04 kg m²
b) I = I_BARRA(CM) + I_ESFERAS

I_BARRA(CM) = 2 I_BARRA(extremo para L/2, com m/2) =  m (L/2)2/3 = m L²/12

Ou, pelo teorema dos eixos de rotação paralelos:
I_BARRA(CM) = I_BARRA(extremo) - m (L/2)²

I_BARRA(CM) = m L²/3 - m L²/4 = m L² (1/3-1/4) = m L² (4-3)/12 = m L² /12
I_BARRA(CM) = 0,06 0,32/12 = 0,06 0,09/12 = 0,06  0,09/12  = 0,06 9 0,01/12 =
= 6 0,75 0,0001 = 4,5 0,0001 = 0,00045 kg m²

I_ESFERA = I_ESFERA(CM) + M (L/2+R)² = 2 M R²/5 + M (L/2+R)²

I_ESFERA = 2 0,5 0,052/5 + 0,5 (0,15+0,05)² = 0,012 52/5 + 0,5 (0,2)² =

= 0,0001 5 + 0,5 0,04 = 0,0005 + 0,02 = 0,0005+ 0,02 = 0,0205 kg m²

I_TOTAL = I_BARRA(CM)+2 I_ESFERA = 0,00045 + 2  0,0205 =  0,00045 + 0,041 = 0,04145

I_TOTAL =   0,04145 kg m2

I - Ia = 0,04145 - 0,04 = 0,00145 kg m² ==> o erro foi DELTAI% = 3,6% Maior que a estimativa, pois temos massa na barra e o efeito de que parte da massa da esfera que está além do centro da esfera tem mais influência que aquela que está aquém, por causa do efeito do quadrado da distância.

3) (Haliday ed. 3 1998 12.33) Um projétil de massa m é disparado do solo com uma velocidade inicial v₀ e um ângulo inicial TETA₀ em relação à horizontal.
a) Ache uma expressão para o seu momento angular em relação ao ponto de disparo em função do tempo.
b) Derive a expressão a) para calcular a taxa de variação do momento angular com o tempo.
c) Determine diretamente r ^ F e compare o resultado com o item b).  Por que estes dois resultados deveriam ser iguais?

Solução:
a) L = p ^ r = m v ^ r = i (componentes de v e r) - j (componentes de v e r) + k (vx y - vy x) = k (vx y - vy x) pois o movimento sendo no plano, sabemos que a componente angular somente pode ser perpendicular ao plano.

v_x = v₀ cosTETA₀ = constante
v_y = v₀ senTETA₀ - gt

assim:

 L = m k [v₀ cos y - (v₀ senTETA₀ - gt) x] =
=  m k [v₀ cosTETA₀  (v₀ t senTETA₀  - gt²/2) - (v₀ senTETA₀ - gt) v₀ t cosTETA₀ ] =
=  m k [v₀² t cosTETA₀  senTETA₀  - gt² v₀ (cosTETA₀)/2 - v₀² t cosTETA₀  senTETA₀  + g v₀ t² cosTETA₀ ] =
Rta. a): =  k m g v₀ t² (cosTETA₀)/2

b)  dL/dt =  k x = k m gv₀ t cosTETA₀

c) T = r ^ F  = m r ^ g = i (componentes de r e F) - j (comp. de r e F) + k (x gy - y gx) = k m x g = k m g v₀ t cosTETA₀
Rta. c): =k m g v₀ t cosTETA₀
São iguais porque o torque é a derivada da quantidade de movimento angular, T = dL/dt , equação da dinâmica Newtoniana aplicada ao movimento angular.

Observa-se que, mesmo que as coordenadas x e y dependem de t, se obtém o mesmo resultado ao  considerá-las independentes na hora de derivar.

A direção do momento angular é perpendicular  ao plano da trajetória, e à esquerda da direção de avanço.

4) (Haliday ed. 3 1998 12.55  a)  e b) somente) Duas bolas de 2,0 kg estão ligadas nas extremidades de uma barra fina de massa desprezível.  A barra pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa em seu centro.  O comprimento da barra é igual a 50 cm.  Um pedaço de massa de vidraceiro de 50 g é projetado contra uma das bolas conforme indicado na figura (Fig. 40).  A massa colide com uma velocidade de 3,0 m/s com a referida bola, permanecendo nela grudada.
a) Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão entre a massa e a bola?
b) Calcule a razão entre a energia cinética do sistema depois da colisão e a energia cinética da massa antes da colisão.

Solução:
a) A energia não se conserva pois a colisão é inelástica, porém sim se conserva a quantidade de movimento angular pois durante a colisão a única força externa ao sistema massa-barra, a gravidade, faz um trabalho desprezível por ser desprezado o movimento vertical durante a colisão.

Embora se trate de um caso de rotação onde os dois corpos tem o mesmo braço de torque r, o problema não deve ser tratado como conservação da quantidade de movimento linear senão da quantidade de movimento angular.

L  = mvr = 0,05 3 0,25 kg m²/s = 0,0375 kg m²/s
L' = 4,05 kg  w' r² = L  ==>  w' = 0,0375 / 4,05 0,252 = 0,0375/4,05 0,0625 = 0,0375/0,25 = 0,15 s^-1

Rta.a)   w' = 0,15 s^-1
Se por vez de multiplicar mentalmente com arredondamentos usarmos calculadora teriamos: w' = 0,148 s^-1

b) A energia cinética da massa era de translação:

Ec = m v²/2 = 0,05 3²/2 = 0,025 9 = 0,225 J

transformou-se em energia cinética de rotação:

I w'²/2 = 4,05 0,25² 0,15²/2 = 0,25 0,0225/2 = 0,225/80 J

dando a relação pedida como 1/80 = 0,0125

Rta.b) Ec₀/Ec = 0,0125  com calculadora: Ec₀/Ec = 0,0123