F 129    -    ROTEIRO TEÓRICO





I.       INTRODUÇÃO


II.     LABORATÓRIO
          1.  Relatório
          2.  Medidas
          3.  Algarismos significativos


III.   ERROS
          1.  Erros sistemáticos
          2.  Erros casuais
          3.  Desvios
          4.  Erros estatísticos
          5.  Distribuição gaussiana
          6.  Regras práticas
          7.  Erros e funções
          8.  Exercícios


IV.    TABELAS E GRÁFICOS
          1.  Tabelas
          2.  Gráficos


V.       AJUSTE DE CURVAS
          1.  Método gráfico
          2.  Regressão linear
          3.  Relação não linear












I.    INTRODUÇÃO
A Física estuda uma gama muito grande de fenômenos, desde aqueles que ocorrem no interior das chamadas partículas elementares até aos que acontecem em longínquos objetos estelares, como os quasares, os buracos negros, as estrelas de neutrons, as supernovas etc. Como resultado dessas pesquisas, aumenta o nosso conhecimento da natureza, o que leva sempre à possibilidade de um maior aproveitamento de seus recursos. Às vezes, podem surgir também novas tecnologias e novos produtos como resultado imediato de alguma pesquisa aparentemente sem nenhuma finalidade prática.
Para aprofundar o seu conhecimento da natureza, o homem desenvolveu ao longo dos séculos o chamado método científico, preocupando-se em chegar a conclusões através de observações, medidas e testes de modelos. Através das observações pretende-se identificar quais são as propriedades que realmente caracterizam aquele fenômeno e depois medi-las. A seguir, pode-se tentar uma primeira descrição de como um sistema material se comporta em determinadas circunstâncias, para poder prever seu comportamento em situações não testadas: é a fase de criação do chamado modelo fenomenológico. Novas observações por sua vez levam a correções do modelo original, podendo se chegar finalmente a uma teoria, isso é, à identificação das verdadeiras causas do fenômeno estudado e à correlação deste particular fenômeno com os demais.
A Física é uma ciência que se baseia quase sempre na observação do fenômeno natural e na identificação e medida das propriedades que o caracterizam. Frequentemente, essas observações e medidas não são feitas diretamente pelos nossos sentidos, mas através de equipamentos muito complexos, desenvolvidos em geral para essa finalidade específica e fruto eles também das experiências anteriores sobre o mesmo tema.
A Física, ao mesmo tempo em que busca as soluções dos problemas fundamentais de como e porque, procura também responder às questões quando, quanto, a que distância ou de que tamanho. Como uma ciência exata, ela procura desvendar não apenas os aspectos qualitativos dos mistérios da natureza, mas também os aspectos quantitativos. É fácil então entender que a matemática é um instrumento essencial para o físico, pois a matemática fornecer-lhe-á a linguagem exata, unívoca e universal para expressar as regularidades e os padrões de comportamento que ele observa na natureza, na sua incessante busca de uma classificação final: as leis físicas.
Essas leis, às quais ele chega em geral através de um lento processo de indução, permitir-lhe-ão generalizar os resultados de uma experiência e obter as respostas quantitativas para outros fenômenos. Entretanto, o uso da chamada intuição física é essencial, pois muitas vezes a essência de uma situação física não pode ser entendida apenas através de equações. Os princípios físicos podem e precisam ser entendidos também independentemente da matemática, essa compreensão possibilita a sua aplicação a outros sistemas.
As leis físicas tem como base conceitos que às vezes parecem muito abstratos e pouco tangíveis: força, energia, temperatura, carga elétrica etc. Esses conceitos, expressos através de palavras que no linguajar comum tem significados pouco precisos, requerem um certo poder de abstração para serem apreendidos.
A Física Teórica constroi modelos para explicar fenômenos observados experimentalmente, procurando a partir deles predizer os resultados de novos experimentos. O critério final de sucesso, em qualquer um dos casos, é a concordância das previsões do modelo com os resultados determinados de forma experimental. Portanto, a iniciação dos futuros profissionais no trabalho de laboratório é essencial.
Um dos objetivos deste curso é fazer com que o aluno se familiarize com a aplicação de alguns princípios físicos fundamentais na interpretação de fenômenos simples. Isso deve fazer com que ele se convença da necessidade de abandonar o hábito de memorizar todas as fórmulas e depois substituí-las por números.
Como você vai perceber ao longo do curso, a Física é uma matéria desafiadora, ela não é como um filme de ficção científica, que você apenas aprecia sem participar, ela exige uma participação do estudante através de um trabalho perseverante e disciplinado e do domínio de certas técnicas matemáticas que, por si só, não são às vezes tão atraentes. Sabendo usar essas ferramentas, você terá mais condições de compreender porque a Física é necessária.

II.      LABORATÓRIO
É dentro deste cenário que devem ser entendidas as disciplinas de laboratório de física. Nelas o aluno não está apenas adquirindo conhecimento, mas está construindo o conhecimento, exatamente como no processo de pesquisa científica. As experiências são simples e os aparelhos utilizados também. Mas foram essas experiências que levaram à construção da física atual.
As experiências a serem realizadas durante o curso ocuparão em geral uma aula de 2 horas. Algumas exigirão mais de uma aula, com enfoques diferenciados em cada aula. Quase sempre, haverá uma montagem experimental para cada grupo de 3 alunos.
O aluno deve aprender a prestar atenção no equipamento experimental disponível, procurando entender como funciona, quais suas limitações, suas imperfeições e como isso tudo influi no modelo físico que se quer testar. Tudo isso deverá ser discutido no Relatório , peça fundamental do processo de aprendizagem.
Os cadernos de laboratório são individuais e deverão ser entregues no prazo indicado no cronograma de cada turma. É importante que o aluno venha para a aula já sabendo qual a experiência que irá realizar e quais os seus fundamentos teóricos (para isso podem usar o Halliday, o Tipler ou qualquer outro livro de física básica).
O cronograma do curso, os critérios de aprovação e a bibliografia recomendada estão detalhados nas respectivas páginas. Como se vê, a avaliação final dos cadernos de laboratório têm peso bastante alto no aproveitamento final.

1.   Relatório
Uma etapa importante no trabalho científico é a divulgação à comunidade dos resultados obtidos. É assim que a contribuição do trabalho ao patrimônio científico da humanidade é colocada à disposição de todos. Essa divulgação é feita em revistas científicas especializadas de circulação nacional e internacional e obedece a certos padrões na sua apresentação.
Durante os cursos de graduação, de mestrado e de doutorado (não importa a carreira escolhida), provavelmente, vocês terão alguma bolsa ou farão algum estágio e como bosistas ou estagiários deverão apresentar relatórios periódicos descrevendo as suas atividades. Mais tarde, em sua vida profissional, vocês também precisarão sempre apresentar relatórios sobre os projetos e estudos contratados com seus clientes.
Por isso, é fundamental que todo estudante aprenda desde o primeiro ano como escrever e apresentar um trabalho científico ou técnico. Esse aprendizado se dá nos cursos de laboratório, através do relatório, principalmente a partir do segundo semestre. É por esse motivo que já no primeiro semestre será exigido de vocês que façam um relatório meticuloso e organizado para cada experiência realizada, seguindo os padrões usados pelas indústrias que oferecem estágios e pelas agências de fomento que dão bolsas de iniciação científica ( SAE/UNICAMP, FAPESP, PRP/PIBIC/CNPQ etc).
As características fundamentais de um Relatório são a objetividade e a clareza. Para isso, o Relatório deve respeitar sempre certos aspectos e normas indispensáveis para que o leitor possa entender imediatamente os pontos essenciais do trabalho feito na sala de aula. Sem ser prolixo, ele deve conter o maior número possível de informações sobre o que foi feito, como foi feito e os resultados alcançados. Deve permitir situar claramente este trabalho no contexto do tema em questão, ou seja, a finalidade da experiência e do procedimento adotado, as hipóteses assumidas e o que se esperava alcançar.
É apresentada a seguir uma divisão em itens de um relatório de laboratório de Física Geral e Experimental, preparada dentro do que foi dito acima. Nem todos os trabalhos devem ser rigorosamente divididos nessa forma, mas todos os aspectos são importantes e devem constar de um trabalho.

i. TÍTULO
Nome do trabalho.
ii. RESUMO
Deve conter uma descrição do problema, a motivação e o método empregado e os resultados obtidos. O resumo deve, portanto, ser o último item a ser escrito em um trabalho, embora seja normalmente apresentado no início. O resumo deve ter uma estrutura independente do resto do trabalho, isto é, o leitor deve ser capaz, ao lê-lo, de ter uma idéia geral do trabalho, sem necessidade de consulta ao restante do trabalho.
iii. INTRODUÇÃO
Situe seu trabalho no tempo e no espaço. Se quiser, mostre um breve (muito breve) esboço histórico do problema. Mostre resumidamente sua relevância para a comunidade a que é endereçado. Mostre sua utilidade (em que área é usado). Se possível, situe o problema em relação a outras áreas às quais está relacionado. Deixe claros os objetivos do trabalho.
iv. TEORIA
Frequentemente em física, uma experiência é executada para testar uma teoria ou aproximações dela decorrentes. Enfim, para testar um modelo. Outras vezes, utiliza-se uma teoria já suficientemente testada tendo em vista uma aplicação. Nesta parte, você deve colocar os resultados teóricos que são relevantes para o trabalho. Em geral, não são feitas deduções, mas os aspectos da teoria utilizada (relações matemáticas, afirmações etc) são discutidos. Deixe claro o que é cada grandeza utilizada e o significado físico das relações usadas. Neste item, você deve fazer uso de referências onde a teoria foi desenvolvida (livros, apostilas, relatórios, artigos etc).
v. PARTE EXPERIMENTAL
Aqui você deve apresentar o que comumente chamamos de materiais e métodos. Coloque um diagrama de blocos ou esquema de montagem experimental (se possível). Deixe claro os instrumentos utilizados e também os materiais (substâncias, elementos químicos, componentes etc - evite apresentá-los como "uma receita de bolo"). Descreva o método usado e os cuidados experimentais tomados para a obtenção dos dados.
vi. RESULTADO E ANÁLISE DE DADOS
Os dados experimentais obtidos devem ser apresentados nesta parte, procurando colocá-los em tabelas, com legenda, título etc. Deixe claro todas as etapas seguidas durante a análise dos dados. Não há necessidade de apresentar os cálculos explicitamente. Entretanto, o leitor deve ser capaz de repeti-los com as indicações do texto. Apresente claramente os resultados em tabelas, gráficos etc. Evite deixar os resultados espalhados no meio dos cálculos. Dê uma atenção bastante especial para as estimativas de erro nos valores obtidos (procure durante a realização da experiência verificar cuidadosamente as fontes de erro que afetam as medidas).
vii. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO
Comente os resultados obtidos, sua qualidade e confiabilidade. Tente justificar eventuais discrepâncias que forem observadas. Aponte sugestãoes para melhorar a qualidade dos dados etc. Coloque as condições resultantes da experiência. Você deve discernir claramente quais foram essas conclusões. Não coloque como conclusões afirmações (mesmo que corretas) que não decorrem diretamente da experiência realizada. Se possível, relacione essas conclusões com as de outras experiências. Verifique até que ponto os objetivos da experiência foram alcançados (teste de um modelo, aplicações etc.).
viii. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Coloque as referências do texto. Nas obras referenciadas em geral as informações são colocadas na seguinte ordem:
- Para artigos de revistas: Nome(s) do(s) autor(es), nome do trabalho (optativo), nome da revista, volume, número, página e ano de publicação.
- Para livros: Autor(es), nome do livro, editora, local onde foi editado, ano.
Exemplos:
-Squires. Practical Physics, 3rd edition, - Cambridge University Press (1991)
-Preston, Experiments in Physics - John Wiley & Sons (1985)
-Halliday, R Resnick e J.Walker, Fundamentals of Physics, 4th edition, - John Wiley & Sons (1989)
-C.E. Hennies, W.O.N. Guimarães e J.A. Roversi, Problemas Experimentais em Física - Editora Unicamp, (1989)
-Vuolo J. H. Fundamentos da Teoria de Erros - Ed.Edgar Blücher, SP (1992).
-Bevington P. R. & D. Keith Robinson; Data reduction and Error Analysis for the Physical Sciences - Ed. McGraw Hill (NY) 1992
-A.A. Gusev, T. Kohno, W. N. Spjeldvik, I. M. Martin, G. I. Pugacheva, A. Turtelli , Dynamics of the low altitude secondary proton radiation belt, Advances in Space Research , Vol.21,N.12, pp. 1805/1808 (1998)

2.    Medidas
Em Física, a idéia de medida está subjacente a tudo. É através de experiências que se pode obter valores quantitativos consistentes para certas propriedades da matéria, sejam elas as estranhas propriedades das chamadas partículas elementares, os constituintes últimos da matéria, sejam elas as grandezas que nos permitem entender um pouco as galáxias e outros objetos estelares. No dia a dia, medimos grandezas normais, aquelas que estão dentro de nossos conceitos antropomórficos de descrição da natureza. Mas a natureza não é só o que vemos ao nosso redor. Quando estudamos o microcosmo, há outras propriedades da natureza que não têm correspondência na nossa vida do dia a dia (charm, estranheza, sabor etc). Quando nos afastamos de nosso sistema planetário e estudamos a nossa galáxia ou outras estrelas, também são encontrados estranhos mundos onde não valem as grandezas com as quais estamos acostumados. Para descrever essas novas propriedades, são atribuidos nomes a elas e são feitas medidas sistemáticas.
Tanto nesses campos avançados da física quanto em nossas experiências no laboratório de F129, os resultados das medidas são sempre expressos por números que indicam quantas vezes essa propriedade física de um certo corpo é maior ou menor que um determinado padrão, definido de forma arbitrária, mas conhecido por todos. Esse padrão é chamado a unidade daquela propriedade física particular.
Se fizermos várias medidas de uma mesma propriedade física, os resultados em geral diferirão entre si. É claro que essas diferenças só irão aparecer se as medidas forem feitas com uma precisão razoável, pois se as medidas forem grosseiras, as diferenças entre elas serão mascaradas pela própria imprecisão com que foram feitas. Através de um tratamento matemático apropriado, chega-se a um valor que se aproxima do que se pode chamar de valor verdadeiro de uma propriedade física.

3. Algarismos significativos
Todas as medidas de uma propriedade física estão afetadas por uma incerteza, chamada em geral erro, desvio ou imprecisão da medida. Por isso, os resultados das medidas devem ser expressos de modo tal que se possa avaliar a precisão com que elas foram feitas (ou calculadas). Portanto, o número que representa a medida de uma propriedade física não pode ter uma quantidade qualquer de algarismos, ele deve conter apenas algarismos que representem realmente a precisão com que a medida foi feita, ou seja, todos os algarismos devem ter um significado. Introduzimos assim o conceito de algarismos significativos, procurando indicar que nem todos os algarismos que aparecem na representação de uma medida ou no resultado de uma operação matemática tem significado para os físicos.
Quando se escreve 6,41 cm, quer-se dizer que a imprecisão (a dúvida da medida) está no último algarismo "1". É errado escrever que 6,41 cm = 6,410 cm, pois neste último caso a dúvida está no milésimo de centímetro e não em centésimo como no primeiro caso.
A situação se complica um pouco se aparecem zeros no início ou no fim do número. Os zeros que aparecem no início não são significativos pois indicam simplesmente a posição da vírgula. Assim, 0,003702 e 0,3702 têm o mesmo número de algarismos significativos (4): 3,  7,  0  e  2. Às vezes (não é sempre), os zeros que aparecem como últimas cifras indicam apenas a ordem de grandeza. Por exemplo,   74000  poderia ter apenas dois algarismos significativos (7 e 4) e os três zeros indicam o milhar. Ou então, temos de fato cinco algarismos signigicativos: 7,  4,  0,  0 e 0. Para evitar confusões, costuma-se escrever o número em potências de 10:  74x103 significa que temos dois algarismos significativos. Se os algarismos significativos fossem cinco, dever-se-ia escrever: 74000. O uso de potência de 10 é indispensável quando tratamos com grandezas muito pequenas ou muito grandes: 6,022x1023,  6,63x10-34j.s. etc. Portanto, quando se escreve um número em potência de 10, o primeiro fator deve indicar os algarismos significativos e o segundo nos diz de quantos zeros se deve deslocar a vírgula.
Para se saber quantos algarismos significativos existem em um número que expressa a medida de uma propriedade física, deve-se proceder assim:
i. o algarismo que fica mais à esquerda, diferente de zero, é o mais significativo,
ii. se não há vírgula, o algarismo que fica mais à direita, diferente de zero, é o algarismo menos significativo,
iii. se há vírgula, o último algarismo da direita é o menos significativo, mesmo que ele seja zero,
iv. todos os algarismos entre o mais e o menos significativo são significativos.
Durante os cálculos, pode-se trabalhar com um algarismo a mais, mas ao se apresentar o resultado final, deve-se usar o número correto de algarismos significativos, obedecendo às seguintes regras:
-se o algarismo a ser cortado for maior que 5, soma-se 1 ao algarismo anterior,
-se o algarismo a ser cortado for menor que 5, o algarismo anterior mantém-se inalterado,
-se o algarismo a ser cortado for igual a 5, soma-se 1 ao anterior se ele for ímpar, mantendo-o inalterado se for par.
-constantes físicas ou numéricas:
1,2 x p = 3,77 apresenta-se o resultado final com um algarismo a mais.
-multiplicação:
1,2 x 1,2 = 1,4
5 x 5 = 25

-divisão
3,6 ¸ 1,2 = 3,0
36 ¸ 9 = 4

-subtração e adição
2 3. 4 4 1
5 7, 7 1
1, 0 0 1
0, 0 0 3 2
2 1 1, 0 1
______________
2 3. 7 1 0, 7 1 4 2

Resultado final: 2 3. 7 1 0
Fazer as contas com todos os algarismos e no final eliminar os algarismos não ignificativos, conforme as regras práticas acima.

III.    ERROS
Qualquer medida que fizermos será afetada por algum tipo de erro. Como explicaremos a seguir, esses erros podem ser causados pela qualidade (ou falta de) dos instrumentos, pela falta de cuidado do observador, ou podem ser erros estatísticos. Os principais tipos de erros são:

1. Erros sistemáticos.
Erros sistemáticos ou instrumentais são aqueles causados pelos defeitos dos instrumentos. Se um termômetro marca sistematicamente 1 C a mais, porque está descalibrado, nunca será possível eliminar esse erro, por mais cuidado que se tome. Deve-se recalibrar o termômetro. Para identificar e calcular esses erros, deve-se mudar o instrumento de medida.

2. Erros casuais.
Erros acidentais ou casuais são aqueles causados em geral por variações nas condições em que as medidas foram feitas: temperatura, pressão, umidade e por erros de leitura por parte do observador. Em geral, nesse tipo de erro, há igual probabilidade de que as medidas sejam afetadas para mais ou para menos, enquanto os erros sistemáticos influenciá-las-ão sempre para mais ou para menos. Efetuando-se uma série de medidas e tirando a média, consegue-se compensar de certa maneira o efeito desse tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa da grandeza física que se quer medir.

3. Desvios
Desvio em geral é uma maneira particular de se expressar o efeito de um dos erros definidos acima. Em física, são mais usados os seguintes tipos:
i. desvio relativo . É a relação entre o erro dy e o valor médio da grandeza medida áyñ.
=   dy/áyñ (áyñ ¹ 0)
ii. desvio percentual . É o erro relativo expresso em percentual.
=   dy/áyñ x 100%
Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas de grandezas de valores muito diferentes e mesmo de tipos diversos.
iii. desvios avaliados. O desvio avaliado é a fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento utilizado. Isso é, ele indica o dígito no qual se tem a incerteza da medida. Por exemplo,
x = 42,6 cm, quer dizer que o terceiro algarismo é duvidoso. De maneira geral, é o operador quem avalia a incerteza, levando em conta o particular instrumento de medida utilizado. Se o operador adotar como desvio
dx = 0,2 cm,
ele deve expressar a medida x da seguinte forma:
x = (42,6 ± 0,2)cm.
Quando uma propriedade física qualquer é medida apenas uma vez, a incerteza no valor obtido é esse desvio avaliado. Assim, se tem uma idéia clara da precisão da medida realizada. No caso de várias medidas, deve-se usar sempre o maior desvio para se conseguir uma maior segurança nas conclusões obtidas.

4. Erros estatísticos
Fizemos N vezes a medida de uma grandeza física x e obtivemos os valores: x1, x2, ..., xi,..., xn. Definiremos seu valor médio como
áxñ = å[xi/N]  
e o desvio da i-ésima medida:
ei = xi - áxñ
O erro deve ser a diferença entre o valor da grandeza física real (o qual não conhecemos) e o valor da correspondente medida. Como não podemos determinar esse erro, tentaremos ao menos estimá-lo, recorrendo à determinação dos desvios. A teoria dos erros consiste exatamente em associar a uma certa medida não o erro que se comete mas um intervalo de valores dentro do qual o valor verdadeiro tem uma determinada probabilidade de estar.
Do modo como definimos os erros casuais, a soma dos desvios da média é nula, se o número de medidas for suficientemente elevado. Define-se desvio quadrático médio (ou desvio padrão, ou, impropriamente, erro quadrático médio) como:

s = {Se2/(N-1)}1/2
Se os xi são o resultado de uma série de medidas da mesma grandeza, escolhemos um número De bastante pequeno (em relação ao desvio máximo) e subdividimos os desvios do seguinte modo:
-um primeiro grupo compreende os desvios entre:    -(1/2)De       e      (1/2)De
-o seguinte entre    (1 - 1/2)De       e      (1 + 1/2)De     e assim por diante.
Dentro de cada um desses intervalos nós teremos um número de desvios que em geral será diferente do anterior e do posterior. Para visualizar essa distribuição, façamos um gráfico, dividindo o eixo dos x ( abscissa) em segmentos proporcionais a De e em ordenada colocaremos o número de vezes que um determinado desvio cai naquele intervalo. O resultado é mostrado na Fig. 1.
Nunca se consegue reproduzir uma medida exatamente. Intuitivamente, podemos perceber que realizando-se uma série muito grande de medidas, elas deverão se distribuir simetricamente em torno de um certo valor, que por razões óbvias é chamado de valor médio. Quanto mais estreita for a distribuição, maior será a precisão da série de medidas. Foi Gauss quem desenvolveu a teoria matemática dos erros. Essa teoria se baseia nos cálculos de probabilidade e tem por finalidade conhecer melhor o grau de precisão de uma particular série de medidas.

Fig. 1
Vemos imediatamente que:
i.   os intervalos correspondentes a pequenos desvios em relação ao valor médio são mais populados,
ii.  a figura é simétrica em relação ao valor médio da série de medidas.
No caso limite quando  De ® 0   obtemos uma curva contínua, conhecida como distribuição normal,  ou distribuição gaussiana,  ou ainda distribuição dos erros.  Essa curva representa a distribuição dos desvios e é característica de uma vastíssima gama de medidas físicas. 
Para cada particular série de medidas varia em geral a largura da curva, mas a forma permanece a mesma, como se vê na Fig. 2.    É intuitivo que a curva mais estreita representa uma série de medidas mais precisas, ou seja, todos os valores estão concentrados mais próximos ao desvio mínimo. A curva mais aberta representa uma série de medidas de pior qualidade, com as medidas variando em um intervalo maior. Esse fato é indicado pelo s maior ou menor.
Fig. 2
Um tratamento mais avançado da teoria de errros pode ser encontrado no texto : F 129 - Física Experimental I, Guia do Curso de Laboratório, Instituto de Física, Unicamp, por C.H. de Brito Cruz et al., 1995, e nas referências ali contidas. Aqui, vamos nos limitar a discutir os chamados postulados de Gauss. Eles mostram bem porque a distribuição gaussiana é chamada normal, ou seja, aquela que se obtém quando se realiza uma série normal de medidas:
i. ao se efetuar uma medida, a probabilidade de se obter um valor entre X e X + dX é uma função de X. Isso significa que há valores mais prováveis que outros, como era de se esperar.
ii. a probabilidade de que o resultado de uma medida esteja entre    - ¥   e   + ¥    é igual a 1, ou seja tem-se certeza de que todas as medidas estão nesse intervalo. Também bastante óbvio.
iii. as probabilidades de se cometer erros de mesmo valor absoluto, mas de sinais contrários, são iguais. Para um dado valor X da medida, a probabilidade de se ter um determinado desvio depende apenas do valor de X.
iv. o valor mais provável de uma grandeza medida  N  vezes, com a mesma precisão, é a média aritmética das  N  medidas efetuadas. É a melhor estimativa que se pode ter do valor verdadeiro da grandeza física.
Essas quatro observações, não demonstradas mas justificadas por suas consequências, são a base da teoria dos erros.

5. Distribuição gaussiana
A distribuição gaussiana é definida como:

P(x, áxñ,s) = (1/sÖ2p)e[-(x - áxñ )2/2s2]

áxñ e s são constantes e assumimos que a média da distribuição (normalmente representada pela letra m) é aproximadamente igual à média das medidas, representada por áxñ . Note-se que a função tem o máximo em x = áxñ e tende rapidamente a zero quando (x - áxñ) cresce em relação a s.
Devemos observar os seguintes pontos:
-quando falamos de gaussiana, estamos falando de uma distribuição contínua (uma função matemática). A série de medidas feitas no laboratório não é contínua, há um número limitado de medidas. Por isso se diz que a média das medidas é uma boa estimativa da média da distribuição contínua (que pressupõe uma série infinita de medidas). Ela por sua vez é uma boa estimativa do valor real da grandeza física.
-pela equação da gaussiana, pode-se ver que quanto menor o desvio quadrático médio s mais fechada será a curva. Usa-se o s para medir a largura da curva de Gauss. Uma série de medidas será tanto mais precisa quanto menores forem os desvios, isso é, quanto mais estreita for a curva em torno do valor médio. Se em vez de fazer uma única série de N medidas de uma grandeza física fizermos M séries, cada uma com N medidas, podemos calcular a média das médias e também o desvio quadrático médio da média (ou desvio padrão da média):
sm = s/ÖN
-o desvio quadrático médio fornece a probabilidade de que uma única medida desvie do valor médio de uma quantidade de,
-o desvio padrão da média fornece a probabilidade de que a média de uma certa série de medidas tenha um desvio de em relação à média das médias.
-é razoável supor que a média das médias represente um valor muito próximo ao valor verdadeiro da grandeza física,
-entre sm e s existe a relação acima que nos permite obter sm realizando uma única série de medidas, em vez de efetuar M séries com N medidas cada uma,
-valores pequenos de sm ou de s significam medidas muito precisas. É conveniente efetuar sempre um grande número de medidas, pois sm diminui com o aumento do número de medidas. Entretanto, até N da ordem de 10 aproximadamente, a função 1/N aumenta lentamente, portanto, a vantagem que se obteria com a diminuição de sm acaba sendo prejudicada por outros fatores que podem piorar as medidas devido ao aumento de tempo para se realizá-las: condições ambientais, da amostra etc.

6.        Regras práticas
Uma vez descartada a possibilidade de existirem erros sistemáticos, deveremos proceder da seguinte forma:
i. fazer um número razoável de medidas, digamos, entre 10 e 20,

ii. obter a média , obter o desvio padrão e o desvio quadrático médio: s e sm

iii. usando sm no lugar de s na equação da gaussiana (que é tratada em detalhe nas referências "Problemas Experimentais", W.Guimarães, C.Hennies e J.A.Roversi, Ed. Unicamp, 1989 e "F129 - Física Experimental I, Guia do Curso de Laboratório", C.H.Brito Cruz et al, Instituto de Física Gleb Wataghin, 1996) pode-se concluir que:
-o valor verdadeiro da grandeza sob medida tem a probabilidade de 68,3% de estar compreendido entre (áxñ - s)   e   (áxñ +s)
-tem a probabilidade de 95,4% de estar entre (áxñ - 2s)    e    (áxñ + 2s)
-tem a probabilidade de 99,7% de estar entre (áxñ - 3s)    e    (áxñ + 3s)
É costume dizer que é nula a chance de se obter um valor médio que difira mais de 3s do valor verdadeiro. Quando o valor de uma grandeza é escrito na forma:
x = 6,41 ± 0,02
deve-se entender que o valor médio obtido é áxñ = 6,41 e que o desvio quadrático médio da média sm = 0,02.
Isso de forma alguma significa que o valor verdadeiro da grandeza está compreendido entre
6,41 - 0,02 = 6,39
e
6,41 ± 0,02 = 6,43.
Significa apenas que há 68,3% de probabilidade de termos o valor verdadeiro entre os limites acima e que é praticamente certo que o valor esteja entre 6,35 e 6,47, isso é, entre - 3s e + 3s.
-além das grandezas que são medidas diretamente, como tempo, comprimento e massa, existem aquelas que são obtidas através de operações com as medidas primárias. Nesse caso, devemos usar a chamada propagação de erros. Usaremos uma propagação aproximada, da seguinte forma:

a. multiplicação: X x Y

(áxñ ± dx) x (áyñ ± dy) = áxñáyñ ± áxñdy ± áyñdx ± dxdy

Desprezando os chamados termos de segunda ordem, isso é, supondo que
dxdy << áxñdy, áyñdx,
obtemos:
áxñáyñ ± (áxñdy + áyñdx) Þ d(áxñáyñ) = áxñdy + áyñdx
ou, o erro porcentual é:

d{áxñáyñ}/áxñáyñ = dy/áyñ + dx/áxñ

b. divisão: X/Y

{áxñ ± dx}/{áyñ ± dy} = áxñx{1 ± (dx/áxñ)}/áyñ{1 ± (dy/áyñ)}

[áxñ/áyñ]{1 ± dy/áyñ ± dx/áxñ ± (dxdy)/(áxñáyñ)}   =   áxñ/áyñ ± [áxñ/áyñ]{dy/áyñ ± dx/áxñ}

d(áxñáyñ)/(áxñ áyñ) = dy/áyñ + dx/áxñ
Pode-se concluir que tanto no produto como no quociente os desvios relativos se somam.
c. adição
(áxñ ± dx) + (áyñ ± dy)   =   (áxñ + áyñ) + (dx + dy)

d. subtração
(áxñ ± dx) - (áyñ ± dy)   =   (áxñ - áyñ) + (dx + dy)

7. Erros e funções
Às vezes os resultados que queremos são na realidade funções de grandezas que foram medidas diretamente. Por exemplo, o índice de refração
n = (sen i / sen r),   medimos i e r com seus respectivos erros e queremos n com o seu erro.
Definindo:
y = f(x),    nós podemos escrever o erro em   y  como:
y + Dy = f(x+Dx)   e
y - Dy = f(x-Dx),   obtendo:
Dy  =  [f(x+Dx) - f(x-Dx)]/2
Notando que o erro em geral é pequeno em relação à grandeza medida, podemos aproximá-lo pelo diferencial. Assim o erro de uma função é calculável por séries de Taylor como:
f(x + dx) = f(x) + |f'(x)|dx
O termo |f'(x)|dx é o erro que estamos procurando.
Dy = [dy/dx]x=x0.Dx   (xo é o valor médio da medida x).
Podemos ver que as duas expressões se equivalem. Tomemos, por exemplo, a medida x e seu erro como:
x = (0,38 ± 0,03) rad,  
Nós não queremos x, mas:
y = f(x) = senx,   
Pelo primeiro método:
Dy  =  [f(x+Dx) - f(x-Dx)]/2
Dy = (0,3986 - 0,3929)/2 = 0,0279 (igual a 0,03, usando o número correto de algarismos significativos),   
Utilizando a noção de derivada:
Dy = [dy/dx]x=x0.Dx = cos(0,38).0,03 = 0,0279,  (igual a 0,03, usando o número correto de algarismos significativos)
O resultado final é:
y  =  sen(0,38)  =  0,37 ± 0,03

Exemplos:
a. f(x ) = x² . Isso é, fêz-se uma medida x mas quer-se na realidade x² e o respectivo erro.
d(x² ) = |f'(x)|dx = 2xdx.
Resultado final: feita a medida x e obtido o seu erro dx, o valor final que se procura é:
f(x ± dx) = f(x) ± 2xdx = x² ± 2xdx,

b. f(x) = xn
d(xn)/dx = nxn-1 Þ d(xn) = nxn-1dx,
onde dx é o erro em x e d(xn)é o erro na função xn. Resposta final: feita a medida x e obtido o seu erro dx, o valor final que se procura é:
[xn ± nxn-1dx]

c. f(x) = log x
d(logx) = (1/x)dx Resultado final: feita a medida x e obtido o seu erro dx, o valor final que se procura é:
[logx ± (1/x)dx]

d. f(x) = ex
d(ex) = exdx
Resultado final: feita a medida x e obtido o seu erro dx, o valor final que se procura é:
[ex ± exdx]

e. f(x) = Öx
d(Öx) = (1/(2Öx))dx
Resultado final: feita a medida x e obtido o seu erro dx, o valor final que se procura é:
[Öx ± (1/2(Öx))dx]

NOTA
Se x, y « 1, nós podemos usar:
® (1 ± x) ± m » 1 ± mx,    onde o sinal depende do sinal do expoente m.
® (1 + x).(1 + y) »1 + x + y
® e ± x » 1 ± x
® sen x » tg x » x      Þ      (x em radianos)
Vamos verificar essas regras de aproximação, tomando x = 0,010 e y = 0,015 (ambos muito menores do que 1)
-para m = 3, temos:    (1 + 0,010)3 = 1,0103 = 1,030 (cálculo exato),
1 + 3x0,010 = 1,03 (pela aproximação)
-(1 + x)(1 + y) = (1 + 0,010)(1 + 0,015) = 1,025 (cálculo exato),
1+x+y = 1 + 0,010 + 0,015 = 1,025 (pela aproximação)
-e-0,010 = 0,9900 (cálculo exato),
1 - x = 1 - 0,010 = 0,990 (pela aproximação)
-senx = sen(0,010) = 0,0099 (cálculo exato),
-tgx = tg(0,010) = 0,0100 (cálculo exato).

8. Exercícios
i. Dar o número de algarismos significativos para os seguintes números:

80000 153,401 3,000 194,58 0,0087
40 2,00x10 1,890x10 450 100

ii Indicar para cada um dos números acima quais são os algarismos mais sigificativo e menos significativo.

iii Arredondar para dois algarismos significativos os seguintes números:
1,391  2,03   2,235   1,65   7,95
9,999   89,5   3,449   2,7785   27,8

iv. Determinar o volume e a densidade de uma esfera de raio 3,6 cm e massa 72,53 g, com número correto de algarismos significativos.

v. Calcular
        l = [(6,1 ± 0,3) + (3,47 ± 0,04)] cm
        b = [(5,44 ± 0,05) - (3,4 ± 0,1)] cm
        v = [(3,05 ± 0,01)x(1,21 ± 0,08)x(6,39 ± 0,02)] cm3
        d = [(3,87± 0,03)/(2,65 ± 0,01)] g/cm3
        s = (1/2)x(5,6 ± 0,7)x(2,89± 0,03) cm2

vi. Determine o desvio percentual em cada um dos resultados obtidos no exercício v.
vii.Em uma certa experiência, foi medido o comprimento de uma barra e os valores encontrados estão na tabela abaixo.

                                        
TABELA I

Medidas do comprimento l de uma barra, obtidas com uma régua milimetrada

Comprimento l (cm) Frequência (f) Comprimento l (cm) Frequência (f)
18,9 1 20,1 8
19,0 0 20,2 9
19,1 1 20,3 6
19,2 2 20,4 6
19,3 1 20,5 3
19,4 4 20,6 2
19,5 3 20,7 2
19,6 7 20,8 2
19,7 9 20,9 2
19,8 9 21,0 4
19,9 9 21,1 0
20,0 8 21,2 1

Fazer um histograma da distribuição desses dados, representando a frequência relativa em função do comprimento e traçar a gaussiana correspondente. A partir da expressão da gaussiana, dar o valor da medida afetado pelo erro correspondente sm.

IV.         TABELAS E GRÁFICOS
1. Tabelas
A apresentação dos resultados de medidas e dos cálculos com elas efetuados deve seguir uma forma padronizada, para que a sua leitura não cause dúvidas.
Para isso, existem normas para a confecção de tabelas. Tome como exemplo a Tabela I da lista de exercícios. Toda tabela deve ter:
        a. título, que indique a natureza da medida efetuada, e um número de identificação, para situá-la no contexto do trabalho e para que possa referir a ela no corpo do texto. No exemplo atrás, tem-se:

TABELA I
Medidas do comprimento l de uma barra, obtidas com uma régua milimetrada.

        b. cabeçalho, contendo o símbolo da grandeza daquela coluna e sua unidade. Quando a tabela for dividida em partes, como no caso do exemplo, o cabeçalho deve ser repetido.
        c. número correto de algarismos significativos: deve-se escrever apenas o número de significativos que foram de fato medidos. Dependendo do caso, pode-se escrever mais um algarismo duvidoso, resultado de interpolação, quando o instrumento de medida o permitir. Por exemplo:
l = (4,63 ± 0,03) cm

2. Gráficos
Quase sempre é conveniente construir um gráfico com os dados experimentais e traçar curvas para se ter uma idéia mais clara de como a variação de uma grandeza afeta a outra. A forma de tais curvas pode levar à formulação de novas leis.
Os seguintes cuidados devem ser tomados na construção de gráficos:
        a. colocar o título, com uma breve descrição do significado do gráfico,
        b. colocar a variável independente na escala da abscissa (eixo x) e a variável dependente na ordenada (eixo y),
        c. os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade e devem conter apenas a escala,
        d. as escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais (não muito próximos) e com número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos (não marcar nos eixos os valores dos pontos experimentais). A escolha da escala deve ser de tal modo que não dificulte a confecção do gráfico e a sua utilização, isto é, escolher escalas com divisões principais no papel gráfico que permitam subdivisões de fácil leitura. Valores como 2, 5 e 10 são melhores, mas 4 também é algumas vezes usado. Nunca usar 3, 7, 9 etc, pois dificultam a leitura de seus submúltiplos e múltiplos no gráfico. As divisões na escala de abscissas não precisam ser iguais às divisões nas escalas das ordenadas,
        e. costuma-se marcar um círculo (ou outras figuras geométricas quaisquer) em torno do ponto experimental, com raio »2mm,
        f. escolher as escalas também levando em conta o número de algarismos significativos de suas medidas. Não adianta ampliar muito a escala se as suas medidas não têm uma precisão compatível com o número de algarismos sugerido pela escala.
        g. colocar nos pontos experimentais as chamadas barras de erro, que representam os erros, tanto na abscissa (erros de medidas), como em ordenadas (obtidos por propagação). Caso a resolução da escala não o permita, indicar isso no comentário sobre o gráfico.
        h. ao traçar uma reta por pontos experimentais, usar sempre o método de mínimos quadrados, descrito na secção seguinte.
Abaixo estão dois exemplos de gráficos, Fig.3 e Fig.4. As barras de erros não foram representadas porque elas são menores do que a resolução permitida pelas escalas escolhidas e pelo tamanho das figuras que representam os valores medidos (losangos).


Espaço percorrido em função do tempo - MRUV
Fig. 3

Espaço percorrido em função do tempo - MRU
Fig. 4
i.    papel dilog
Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Vamos analisar os dois casos mais simples: a relação tipo potência (y = axb) e tipo exponencial (y = a.ebx).
Quando se sabe que a relação não é linear, pode-se linearizá-la através de uma mudança de variáveis, ou então fazer essa linearização graficamente, usando um tipo de papel cujas escalas não sejam lineares. O tipo mais útil de escala é a escala logarítmica, onde em vez de a distância entre marcas sucessivas das escalas ser constante, ela varia logaritmicamente.
Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (2 - 1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a (3 - 2) e assim por diante, por isso as distâncias entre marcas sucessivas nas escalas são iguais. A escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log2 - log1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes.
Vejamos agora como utilizar o papel dilog. Temos uma relação tipo:
y  =  axb,  onde a e b são constantes. Aplicando logaritmo:
log(y) = log (a) + log (xb)  =  log(a) + blog(x)
fazendo:  log(y) = Y,  log(a) = A,  log(x) = X,  obtém-se: Y = A + bX,  equação de uma reta.
Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência em uma relação linear aplicando o logaritmo. Se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de   x,y   mas de log(y) e log(x), nós teremos uma reta. Nesse caso, estaremos colocando em uma escala linear segmentos que são proporcionais não a x e y, mas sim aos logaritmos de x e y, calculados um a um. Para facilitar esse trabalho (não havia calculadoras na época) foi impresso um papel com as divisões proporcionais às diferenças entre os logaritmos das variáveis e não às diferenças entre as variáveis: é o papel dilog.
Se colocarmos diretamente no papel dilog x e y nós estamos fazendo com que as distâncias entre sucessivos valores de x e de y sejam proporcionais a logx    e  logy, porque as escalas foram construidas assim. No caso do exemplo acima, as distâncias são proporcionais a X e Y e vamos obter então uma reta.
Vamos ver isso mais em detalhe analisando a Fig.5. As distâncias indicadas são proporcionais aos logaritmos (porque o papel foi feito assim). Ao chegar em 20, pode-se escrever:
clog20 = clog(2x10) = c(log2 + log10),
clog10 é a distância entre o 10 e a origem, ou seja, a escala depois do 10 repete aquela entre a origem (1 no nosso caso) e o 10, apenas deslocada para frente de um valor = clog10. Cada intervalo desses é chamado de década e se percebe logo que eles variam em potência de 10. Note-se que a origem pode ser qualquer, pois estamos apenas somando (ou subtraindo) uma constante.
Como se obtém o coeficiente angular? O procedimento é igual ao caso linear:
b = [Y2 - Y1]/[X2 - X1]
= [logy2 - logy1]/[logx2 - logx1]
Substituindo os valores numéricos no exemplo da figura:
(log6,0 - log1,0)/(log40 - log10) = 1,29

Fig. 5

No caso de gráficos em papel milimetrado, não se pode obter b medindo diretamente com uma régua as distâncias entre os dois valores de y e os dois valores de x porque as escalas nos dois eixos são em geral diferentes, isso é, 1 mm no eixo dos y não corresponde ao mesmo valor que 1 mm no eixo dos x. E no caso do papel dilog?
Voltando ao exemplo da Fig. 5, suponhamos que a constante de proporcionalidade c (igual para os dois eixos) valha: 4,78 e que a escala em y em vez de começar em 1 comece em 10-38 e que a escala em x comece em 1053:
b = 4,78x[log(y2.10-38) - log(y1.10-38)]/{4,78x[log(x2.1053) - log(x1.1053)]}
= [logy2 + log10-38 - logy1 - log10-38]/[logx2 + log1053 - logx1 - log1053]
= (logy2 - logy2)/(log x2 - logx1),   independentemente das particulares escalas para os eixos x e y e qualquer que seja o valor da constante c ou da base de logaritmos utilizada. Isso significa que para obter o coeficiente angular da reta, nós podemos medir diretamente com uma régua a distância entre Y2 e Y1 e entre X2 e X1 e fazer a divisão. No caso do exemplo da Fig. 5 nós obtemos:
b = 5.5/4,2 = 1,3
E o coeficiente linear? A equação da reta é:
Y = A + bX,   o coeficiente A pode ser determinado graficamente tomando um valor qualquer de x e calculando o A. Ou, quando a escala o permitir, fazer X = 1 (cujo logaritmo é = 0 em qualquer base), sendo então Y = A.
Mudanças de base em logaritmo significam apenas a multiplicação por um fator constante. Para passar de uma base arbitrária m qualquer para a base 10, tem-se:
logm(x) = log10(x)/log10(m)
log10(m) é uma constante e está multiplicando o numerador e o denominador das equações acima, não afetando os resultados.

ii.   papel monolog
Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e bem simples é a exponencial:
y = a.ebx,  também podemos linearizá-la através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um papel milimetrado, colocar no eixo y os valores medidos de y e no eixo x colocar ebx e não as medidas x.
Outra possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica e o outro linear. Notem que a escala logarítmica está em uma base qualquer, não é porque estamos lidando com exponencial que a escala logarítmica está na base e. Para essa escala vale tudo o que vimos acima para o papel dilog. Temos então:
logy = log[a.ebx] = loga + bx.loge = loga + (b.loge).x
Y = A + Bx,  que é a equação de uma reta.
Para se achar o valor de A, quando a escala o permitir, faz-se x= 0 e obtém-se Y = A. Ou então, toma-se um valor qualquer de x sobre a reta do gráfico, obtém-se Y e daí A. Note-se que este procedimento não é equivalente a tomar um par (x,y) medido e calcular a. No gráfico, está-se usando a reta média, obtida em geral por mínimos quadrados, que leva em conta todos os pontos experimentais.
No papel monolog, não podemos obter o coeficiente angular simplesmente medindo as distâncias com uma régua, pois as escalas são diferentes. A maneira geral de fazê-lo é:
b = [logy2 - logy1]/[loge(x2 - x1)]
A escala está em uma base m qualquer, vamos fazer a mudança para a base e:
logmy = lny/lnm. Usando essa relação na expressão para b dada acima:
b  =  (lny2/lnm  -  lny1/lnm)/[(lne/lnm).(x2 - x1)]  =  (lny2 - lny1)/(x2 - x1)
Pode-se tomar y2 = e  e  y1= 1, aí temos:
b = 1/(xe - x1),  onde xe é o valor de x quando y = e,  e x1 é o valor de x quando y = 1. Se a década que aparece no gráfico não for aquela entre 1 e 10, o resultado será o mesmo. Porque?
Realmente, pode-se usar o papel monolog para qualquer relação tipo:
y = a.pbx e não apenas quando p = e. Aplicando o logaritmo:
logy = loga + (b.logp)x. A exemplo do que foi feto no caso da exponencial, convém aqui mudar para logaritmo na base p. Supondo que a escala esteja em uma base m qualquer:
b  =  (logpy2/logpm - logpy1/logpm)/[logpp/logpm)(x2 - x1)]
=  (logpy2 - logpy1)/(x2 - x1)
Pode-se achar a inclinação da reta tomando os pontos y2 = p (cujo logaritmo é 1) e y1 = 1 (cujo logaritmo é 0):
b  =  1/(xy=p - xy=1)

V.         AJUSTE DE CURVAS
Nesta parte do curso, frequentemente vocês vão observar que a relação entre duas grandezas medidas é linear (uma reta), seja em uma escala linear, seja em escala dilog ou monolog
y  =  ax + b
Como fazer para se encontrar a melhor reta? A maior parte das calculadoras, mesmo as mais simples, já fornece diretamente os parâmetros da reta (a e b) a partir de um conjunto de pares xi, yi. Mas convém entender como são obtidos esses parâmetros antes de usar a calculadora. Discutiremos um método rápido e a seguir o método estatístico mais rigoroso, que o programa das calculadoras utilizam.

1. Método gráfico
O primeiro método que vem em mente é colocar os pontos experimentais em uma folha milimetrada (ou dilog, ou monolog) e tentar achar uma reta de modo a se ter aproximadamente o mesmo número de pontos acima e abaixo dela.
A Fig. 6 mostra um gráfico de medidas de distância percorrida em função do tempo. A primeira providência é determinar o centro das medidas experimentais de t e x. Esse centro de fato deve ser um centro ponderado, favorecendo o lado onde há mais pontos e pontos com barras de erro menores (não é o caso aqui, pois as barras não estão colocadas). A partir deste ponto médio, trace uma reta tal que aproximadamente metade dos pontos (em cada quadrante) fique acima e metade abaixo dela. Essa é a reta média. Para se ter uma idéia do desvio nos coeficientes da reta assim achada (sa e sb), poder-se-ia melhorar o método, lembrando que o s na gaussiana significa que há uma probabilidade de ~68% de que uma nova medida caia entre áxñ ± s.
Fig. 6
Para isso, sempre dentro de nosso método aproximado, vamos voltar ao ponto médio e traçar a partir dali uma reta tal que no quadrante inferior nós tenhamos 16% dos pontos abaixo dela e no superior 16% dos pontos acima dela. Essa é a reta com   amax  e  bmin, como se pode ver pela figura. Tracemos agora outra, tal que no quadrante inferior tenhamos 16% acima dela e no superior 16% abaixo. Essa é a reta como   amin  e  bmax, como a figura mostra.
Como se vê, obtivemos duas retas e em cada caso tivemos 16% dos pontos fora delas: 16% + 16% = 32%, ou seja, 68% dos pontos estão compreendidos entre elas, como era de esperar pelo significado de s na gaussiana, explicado logo atrás.
Como se descobrem os valores numéricos de b e de a?

2. Regressão linear   -   Método dos mínimos quadrados
Em geral, convém usar algum método mais objetivo para obter a reta procurada.
São medidos os pares xi , yi , e quer-se a reta tal que
y = b + ax
ou seja
y - b - ax = 0
Como os pares xi , yi são medidas experimentais, eles têm erros e realmente não existe uma reta que passe por todos os pontos. O que se pretende de fato é uma reta tal que:
Dyi = yi - b - ax
seja o menor possível. A maior parte dos pontos experimentais estará um pouco fora da reta, ou acima ou abaixo. Nós queremos uma reta tal que essa diferença seja a menor possível. Vamos chamar de y(x) a função ideal que relaciona y e x. Para um certo x = xi, a probabilidade de se fazer a medida yi é dada por:
Pi  =  P(yi, y(x)) = (1/sÖ2p) exp[- (yi- y(xi)) 2 /2si2]
essa função nos dá então a distribuição dos desvios entre os valores medidos (ou obtidos) de yi e os valores esperados a partir da distribuição ideal, no caso, da reta ideal, que tem os coeficientes ao, bo. Essa é a probabilidade para um único valor yi. Qual a probabilidade para para n valores? Será o produto das probabilidades:
P(ao,bo)  =  P Pi  =   (1/sÖ2p)n exp[-(1/2si2)S (yi- y(xi)) 2]
O expoente é
X2  =  S(yi - axi -b)2
Quando essa probabilidade é máxima? Quando o expoente for mínimo. É necessário portanto encontrar o mínimo de X2. O mínimo se encontra igualando ambas as suas derivadas a zero e resolvendo o sistema de equações para a e b:
(X2/b)   =   0   =   2S(yi - axi - b)   =   0
e
(X2/a)   =    0    =    2S(xi (yi - axi - b))    =   0
Reordenando:
bn + aSxi  =  Syi
Sxiyi  =  bSxi + aSxi2
resolvendo o sistema, obtemos:
a  =  [Sxiyi - (SxiSyi)/n]/ [Sxi2 - (Sxi)2/n]
lembrando que (Sxi/n)  =  áxñ ,  obtemos:
a  =  [Sxiyi - áxñ Syi] /[Sxi2 - náxñ 2]
o numerador pode ser reescrito como:
S[(xi - áxñ)yi]
e o denominador:
S(xi - áxñ)2, porque:
S(xi - áxñ)2 = Sxi2 + náxñ 2 - 2náxñ(Sxi/n) = Sxi2 + náxñ 2 - 2náxñáxñ = Sxi2 - náxñ 2
Portanto, os valores das variáveis a e b, que minimizam o expoente e que nos dão os melhores valores para os parâmetros da reta que procuramos, são:
a  =  [S(xi - áxñ)yi] /[S(xi - áxñ)2]
b  =  áyñ - aáxñ

3. Relação não linear
A relação não linear mais comum que encontraremos neste nosso curso será do tipo:
y  =  axb,  onde a e b são constantes. Aplicando logaritmo:
log(y) = log (a) + log (xb)  =  log(a) + blog(x)
fazendo:  log(y) = Y,  log(a) = A,  log(x) = X,  obtém-se: Y = A + bX,  equação de uma reta, onde A e b são facilmente determinados por mínimos quadrados usando as novas variáveis: logx e logy.
Exemplo:
i.    s = vot + (1/2)at2
s - vot = (1/2)at2,  fazendo:  y = s - vot,    A = (1/2)a,  t = x,  e  b = 2,  temos
y = Axb,  que podemos linearizar como no caso anterior.
ii.   z = zoekt,  onde zo  e  k  são constantes. Usamos agora o logaritmo natural (na base e):
lnz = lnzo + kt,  fazendo lnz = y,  lnzo = a,  k = b,  t = x,  obtém-se:
y = a + bx, que é novamente a equação de uma reta. Usa-se o método dos mínimos quadrados com as variáveis lnz e x (=t).
iii. exercícios
Fazer os gráficos com os dados das tabelas abaixo e traçar a melhor reta em cada caso.

Papel milimetrado
Papel dilog
Papel monolog
y(cm) x(s)
7,0 2,5
14,0 6,1
17,5 8,3
22,9 10,3
26,5 12,8
32,1 15,0
y(cm) x(s)
0,9 1,6
9,3 4,2
25,1 7,7
48,9 10,0
64,9 12,3
100,7 15,2
y(cm) x(s)
1,6 0,1
2,7 3,9
4,4 8,3
7,5 11,5
11,9 15,9
20,1 20,5


4. Ajuste de uma gaussiana
Foi visto atrás o significado da distribuição gaussiana, mas como se faz para ajustar uma distribuição gaussiana a um conjunto real de dados experimentais para verificar se a sua dispersão é puramente estatística ou se algum outro efeito por trás?

Fig. 7
Vemos imediatamente que:
i.   os intervalos correspondentes a pequenos desvios em relação ao valor médio são mais populados,
ii.  a figura é simétrica em relação ao valor médio da série de medidas.
No caso limite quando  De ® 0   obtemos uma curva contínua, conhecida como distribuição normal,  ou distribuição gaussiana,  ou ainda distribuição dos erros.  Essa curva representa a distribuição dos desvios e é característica de uma vastíssima gama de medidas físicas. 





Texto baseado principalmente em:
-R. Rigitano, Física I, Biblioteca do IFGW, Manuscrito, 1989
-C.H.Brito Cruz et al, F129 - Física Experimental I, Guia do Curso de Laboratório, Instituto de Física Gleb Wataghin, 1996
-W.Guimarães, C.Hennies e J.A.Roversi, Problemas Experimentais, Ed. Unicamp, 1989
-René Brenzikofer e Carlos A. Ribeiro, F-129: Física Experimental I, Guia para as Disciplinas de Laboratório Básico, Instituto de Física, UNICAMP, 1998
-G.L.Squires, Practical Physics, Cambridge Univ. Press, 1991
-D.Halliday, R.Resnick e J.Walker, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1993


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