11.76 Uma chaminé alta racha próximo à base e cai. Expresse as acelerações:
a) radial
b) tangencial do topo da chaminé como função do angulo q formado pela chaminé com a vertical.
c) a aceleração linear pode exceder g?
d) a chaminé quebra durante a queda, explique como isto pode acontecer. (Veja "More on the falling Chimney", de Albert A. Bartlett, The Physics Teacher, set. 1976).

Rta.:
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a) Para calcular mudanças de energia potencial podemos considerar a massa toda no centro de massa (CM). Assim, a variação de energia cinética, que corresponde a uma rotação pura, corresponde a:

I w ²/2 = Mg D y_CM = Mg L/2 - Mg (L cosq)/2 = Mg L (1- cosq)/2 => w ² = Mg L (1- cosq)/I

            a_r = w ² r = Mg L r (1- cosq)/I = Mg L r (1- cosq)/M L²/3 = 3gr (1- cosq)/L ç
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b) a = G /I = Mg L (senq)/2I ; I = M L²/3 ; a = Mg L (senq)/2 M L²/3 = 3 g (senq)/2 L

           a = 1,5 g (senq)/L è a_T = 1,5 g senq ç

Obs.: Se fosse verdade que posso assumir a massa da barra como concentrada no centro de massa para as rotações, teriamos Mg D y_{CM =} M v²/2 obtendo finalmente para w um valor maior que o verdadeiro, pois não podemos considerar o efeito da massa mais afastada do eixo de rotação ser igual ao da massa mais próxima.
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c) O que está o enunciado chamando de aceleração linear? Suponhamos seja a aceleração tangencial:

a_T = 1,5 g senq tem ponto crítico em a_T = 1 para q _C = arcsen(2/3) = 41,8⁰

mgy = mv²/2 => v = (2gy)^1/2 = (2g r cosq ) ^1/2 => w = v/r = [2g (cosq )/r] ^1/2

 w decresce quando r cresce, por isto as partículas da chaminé mais próximas do eixo
tendem a ir mais rápido, tensionando contra as mais afastadas.

Na Fig. 11 do livro vé-se isto, e também que deve ter havido um movimento de rotação ao longo
do eixo da chaminé, pois por ver de acontecer a quebra em distância bem
definida, ha uma fratura de cisalhamento (experimente quebrar um giz fazendo rotações opostas pelos extremos).

Desta maneira, a tensão pelo arraste vale M_ex a_T , onde M_ex é a massa que fica no restante da coluna, desde a posição r até o extremo livre.

M_ex = M (L-r)/L pois consideramos uma densidade linear de massa.

Assim:

T_T = M (L-r) a_T /L = M (L-r) 1,5 g senq /L e é máxima no eixo de rotação. Porque a chaminé não quebrou bem na base? Bem, porque a chaminé é cónica, a base tem mais rigidez.
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Outras considerações:

A análise sería mais completa se considerarmos também à tensão radial, que é composta do peso T(q ) que as partículas exercem umas sobre as outras ao longo do comprimento, menos a força inercial centrípeta.

T_r = T(q ) - m a_r  ; O cálculo precisa ainda ser desenvolvido, o valor de m indicado não foi específicado.
Para q = 0 e na base, por essemplo, temos T_r = T(q ) = Mg

Vemos que o problema envolve mais cálculo ainda, e que as duas tensões teriam de ser compostas vetorialmente. Essa análise é mais específica para quem faz o cálculo de tensões, que pode ser um engenheiro mecânico mas também um físico, pois temos no Brasil um físico fazendo esse tipo de trabalho para a Ford.