1)(Tipler 8.30) Um anel de raio 0,50 m e m = 0,8 kg está rolando sem deslizar a v = 20 m/s para cima em um plano inclinado de 300. Qual é a distância que o anel subirá no plano sem deslizar?
Solução: Por
conservação da energia temos:
Eci + Ui = Ecf + Uf
Como:
Eci = mv2/2 + I w2/2 = mv2/2 + I v2/2R2
Ui = 0 ; Ecf = 0 ; Uf = mgh
Resulta:
Eci = Uf ou seja: mv2/2
+ I v2/2R2 = mgh
Como: I ANEL = m R2 fica:
mgh = mv2/2 + m v2/2 = m v2 ==> h = v2/g = 40,8 m
e sendo h = L sen0 temos: L = h/sen0 = 40,8/0,5 = 81,6 m Rta. : L = 81,6 m
2) (Tipler 8.79) A figura mostra um par
de esferas uniformes cada uma de massa
M = 500 g e raio 5 cm. Elas foram montadas
numa barra uniforme que tem comprimento L = 30 cm e massa m = 60 g.
a) Calcule o momento de inércia do sistema
em torno de um eixo perpendicular à barra no seu centro usando a
aproximação de que as esferas podem ser tratadas como partículas
pontuais a 20 cm do eixo de rotação e que a massa da barra
é desprezível.
b) Calcule o momento de inércia considerando
as esferas e a barra com as dimensões dadas e dê a percentagem
de erro da resposta a). Dados: IESFERA(CM) = 2 mR2/5
; IBARRA(por extremo) = m L2/3
Solução:
a) M = 0,5 kg , r = 0,2 m ==> I
= 2 M r2
= 0,04 kg m2
b) I = IBARRA(CM) + IESFERAS
IBARRA(CM) = 2 IBARRA(extremo para L/2, com m/2) = m (L/2)2/3 = m L2/12
Ou, pelo teorema dos eixos de rotação paralelos:
IBARRA(CM) = IBARRA(extremo) - m (L/2)2
IBARRA(CM) = m L2/3 - m L2/4 = m L2
(1/3-1/4) = m L2 (4-3)/12 = m L2 /12
IBARRA(CM) = 0,06 0,32/12 = 0,06 0,09/12 = 0,06 0,09/12
= 0,06 9 0,01/12 =
= 6 0,75 0,0001 = 4,5 0,0001 = 0,00045 kg m2
IESFERA = IESFERA(CM) + M (L/2+R)2 = 2 M R2/5 + M (L/2+R)2
IESFERA = 2 0,5 0,052/5 + 0,5 (0,15+0,05)2 = 0,012 52/5 + 0,5 (0,2)2 =
= 0,0001 5 + 0,5 0,04 = 0,0005 + 0,02 = 0,0005+ 0,02 = 0,0205 kg m2
ITOTAL = IBARRA(CM)+2 IESFERA = 0,00045 + 2 0,0205 = 0,00045 + 0,041 = 0,04145
ITOTAL = 0,04145 kg m2
I - Ia = 0,04145 - 0,04 = 0,00145 kg m2 ==> o erro foi DELTAI% = 3,6% Maior que a estimativa, pois temos massa na barra e o efeito de que parte da massa da esfera que está além do centro da esfera tem mais influência que aquela que está aquém, por causa do efeito do quadrado da distância.
3) (Haliday ed. 3 1998 12.33) Um projétil
de massa m é disparado do solo com uma velocidade inicial v0
e um ângulo inicial TETA0 em relação
à horizontal.
a) Ache uma expressão para o seu momento
angular em relação ao ponto de disparo em função
do tempo.
b) Derive a expressão a) para calcular
a taxa de variação do momento angular com o tempo.
c) Determine diretamente r
^
F e compare o resultado com o item b). Por que estes dois resultados
deveriam ser iguais?
Solução:
a) L = p ^ r = m v ^ r = i (componentes
de v e r) - j (componentes de v e r) + k (vx y - vy x) =
k
(vx y - vy x) pois o movimento sendo no plano, sabemos que a componente
angular somente pode ser perpendicular ao plano.
vx = v0 cosTETA0 = constante
vy = v0 senTETA0 - gt
assim:
L = m k [v0 cos y - (v0 senTETA0
- gt) x] =
= m k [v0 cosTETA0
(v0 t senTETA0 - gt2/2) -
(v0 senTETA0 - gt) v0 t cosTETA0
] =
= m k [v02 t cosTETA0
senTETA0 - gt2 v0 (cosTETA0)/2
- v02 t cosTETA0 senTETA0
+ g v0 t2 cosTETA0 ] =
Rta. a): = k m g v0
t2 (cosTETA0)/2
b) dL/dt = k x = k m gv0 t cosTETA0
c) T = r ^ F = m r
^ g = i (componentes de r e F) - j (comp. de r e F) +
k
(x gy - y gx) = k m x g = k m g v0
t cosTETA0
Rta. c): =k
m g v0
t cosTETA0
São iguais porque o torque é a derivada da quantidade
de movimento angular, T = dL/dt , equação da
dinâmica Newtoniana aplicada ao movimento angular.
Observa-se que, mesmo que as coordenadas x e y dependem de t, se obtém o mesmo resultado ao considerá-las independentes na hora de derivar.
A direção do momento angular é perpendicular ao plano da trajetória, e à esquerda da direção de avanço.
4) (Haliday ed. 3 1998 12.55 a) e b) somente) Duas
bolas de 2,0 kg estão ligadas nas extremidades de uma barra fina
de massa desprezível. A barra pode girar sem atrito em torno
de um eixo horizontal que passa em seu centro. O comprimento da barra
é igual a 50 cm. Um pedaço de massa de vidraceiro de
50 g é projetado contra uma das bolas conforme indicado na figura
(Fig. 40). A massa colide com uma velocidade de 3,0 m/s com a referida
bola, permanecendo nela grudada.
a) Qual é a velocidade angular do sistema
imediatamente após a colisão entre a massa e a bola?
b) Calcule a razão entre a energia cinética
do sistema depois da colisão e a energia cinética da massa
antes da colisão.
Solução:
a) A energia não se conserva pois a colisão é
inelástica, porém sim se conserva a quantidade de movimento
angular pois durante a colisão a única força externa
ao sistema massa-barra, a gravidade, faz um trabalho desprezível
por ser desprezado o movimento vertical durante a colisão.
Embora se trate de um caso de rotação onde os dois corpos tem o mesmo braço de torque r, o problema não deve ser tratado como conservação da quantidade de movimento linear senão da quantidade de movimento angular.
L = mvr = 0,05 3 0,25 kg m2/s = 0,0375 kg m2/s
L' = 4,05 kg w' r2 = L ==> w' = 0,0375
/ 4,05 0,252 = 0,0375/4,05 0,0625 = 0,0375/0,25 = 0,15 s-1
Rta.a) w' = 0,15 s-1
Se por vez de multiplicar mentalmente com arredondamentos usarmos calculadora
teriamos: w' = 0,148 s-1
b) A energia cinética da massa era de translação:
Ec = m v2/2 = 0,05 32/2 = 0,025 9 = 0,225 J
transformou-se em energia cinética de rotação:
I w'2/2 = 4,05 0,252 0,152/2 = 0,25 0,0225/2 = 0,225/80 J
dando a relação pedida como 1/80 = 0,0125
Rta.b) Ec0/Ec = 0,0125
com calculadora: Ec0/Ec = 0,0123